Проверь себя
Сначала ответь сам, потом нажми на вопрос. Выбери лекцию:
Матрицы и определители
Как называется таблица из чисел по строкам и столбцам? · Матрица — таблица чисел
Матрица.
Что надо вычесть при подсчёте определителя 2 × 2? · Определитель
Произведение побочной диагонали.
Когда у матрицы есть обратная? · Обратная матрица
Когда определитель не равен нулю.
Какой ранг у матрицы, где все элементы нули? · Ранг матрицы
Ноль.
Системы уравнений
Как называется система, у которой одно решение? · Что такое система уравнений
Определённая.
Когда работают формулы Крамера? · Крамер и матричный способ
Когда определитель системы не равен нулю.
Какая строка означает, что решений нет? · Метод Гаусса и теорема Кронекера–Капелли
Вида 0 = b, где b не равно нулю.
Какое решение всегда есть у однородной системы? · Однородные системы и ФСР
Нулевое: все неизвестные равны нулю.
Векторные пространства
Что нужно, чтобы набор был линейным пространством? · Линейное пространство
Сложение, умножение на число и 8 правил.
Когда набор векторов зависимый? · Линейная зависимость
Когда сумма с числами даёт ноль, а числа не все нули.
Что такое координаты вектора? · Базис и координаты
Числа, на которые умножаем базисные векторы, чтобы получить вектор.
Как найти старые координаты по новым? · Переход к другому базису
Умножить новые координаты на матрицу C.
Как найти координаты вектора MN, если известны координаты точек M и N? · Аффинное пространство
Из координат конца N вычесть координаты начала M.
Произведения векторов
Что получится, если перемножить два вектора скалярно? · Скалярное произведение
Обычное число.
Что будет, если поменять a и b местами? · Векторное произведение
Вектор сменит направление: a × b = −(b × a).
Что означает ноль в смешанном произведении? · Смешанное произведение
Векторы лежат в одной плоскости.
Какие векторы образуют ортонормированный базис? · Ортонормированный базис
Перпендикулярные друг другу, каждый длиной 1.
Линейные отображения
Какие два условия делают отображение линейным? · Линейное отображение
Сумма переходит в сумму образов, число выносится за знак.
Когда линейное отображение инъективно? · Ядро и образ
Когда ядро состоит только из нулевого вектора.
Что записываем в первый столбец матрицы? · Матрица отображения
Координаты образа первого базисного вектора.
Что делает гомотетия с λ = 2? · Линейные операторы
Растягивает каждый вектор в 2 раза.
Пределы
Что значит значок ∀? · Логика, множества, кванторы
«Для всех».
Какие три шага у метода индукции? · Метод математической индукции
База, шаг индукции и вывод.
Последовательность растёт и не выше какого-то числа. Что с ней? · Предел последовательности
Она сходится.
Когда у функции есть предел в точке x₀? · Предел функции
Когда левый и правый пределы существуют и равны.
Непрерывность функций одной переменной
Что значит «функция непрерывна в точке»? · Непрерывность в точке
Её предел в точке равен её значению там.
Какой разрыв у 1/x в точке 0? · Точки разрыва
Второго рода: один из пределов не существует.
Что говорит теорема о нуле? · Свойства непрерывных функций
Если на концах знаки разные, внутри есть ноль.
Непрерывен ли синус? · Элементарные функции
Да, везде, где он определён.
Дифференцируемость функций одной переменной
Чему равна производная постоянной C? · Что такое производная
Нулю: C′ = 0.
Чему равна производная sin x? · Правила дифференцирования
cos x.
Что равно наклону касательной? · Касательная и скорость
Производная f′(x₀), то есть tg α.
С чего начинают искать производную сложной функции? · Сложная, обратная, неявная функции
С выделения внутренней функции u(x).
Теоремы о производных
Что такое f⁽²⁾? · Высшие производные
Производная от производной f′.
Что говорит теорема Лагранжа о касательной? · Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
Есть точка, где она параллельна хорде.
Что такое формула Маклорена? · Формула Тейлора
Формула Тейлора при x₀ = 0.
Когда можно применить правило Лопиталя? · Правило Лопиталя
Когда получается 0/0 или ∞/∞.
Применение производных
Как называется точка, где f′ = 0? · Возрастание и экстремумы
Стационарная точка.
Какой знак у второй производной у «улыбки»? · Выпуклость и перегибы
Плюс: f″ > 0.
Какая асимптота получается при k = 0? · Асимптоты
Горизонтальная.
Где ищем наибольшее значение функции на отрезке? · Наибольшее и наименьшее значение
В критических точках и на концах отрезка.
Неопределённый интеграл
Зачем в ответе пишут + C? · Первообразная и интеграл
Потому что стартовое число может быть любым.
Чему равен ∫cos x dx? · Таблица интегралов
sin x + C.
Что делаем в самом конце замены? · Замена переменной
Возвращаемся к исходной букве x.
Что получится по формуле ∫u dv? · Интегрирование по частям
u·v − ∫v du.
Интегрирование рациональных функций
Когда дробь называется правильной? · Рациональные дроби
Когда степень верха меньше степени низа.
Как называются простые дроби, на которые раскладываем? · Разложение на простые дроби
Элементарные рациональные дроби.
Чему равен ∫dx/(x−a)? · Интегралы простых дробей
ln|x−a| + C.
Что обычно получается в ответе? · Интеграл рациональной дроби
Рациональные дроби, arctg и ln.
Интегрирование иррациональных функций
Какую замену берём для ∫dx/(√x+∛x)? · Корни и подстановка t
x = t⁶.
Что берём, если у трёхчлена есть корни x₁ и x₂? · Подстановки Эйлера
t² = a(x−x₂)/(x−x₁).
Чему равен sin x через u = tg(x/2)? · Тригонометрические: u = tg(x/2)
2u / (1 + u²).
Как разложить sin αx·cos βx в сумму? · Синус, косинус и экспонента
½[sin(α+β)x + sin(α−β)x].
Определённый интеграл
Что делаем с полосками, чтобы получить точную площадь? · Интегральная сумма и площадь
Делаем их всё тоньше.
Что будет, если отрезок разрезать точкой c? · Свойства интеграла
Интеграл станет суммой двух кусков.
Как посчитать интеграл от a до b, если есть F? · Формула Ньютона–Лейбница
Вычесть F(a) из F(b).
Когда несобственный интеграл сходится? · Несобственные интегралы
Когда предел существует и конечен.
Можно ли при проверке сходимости брать ε₁ = ε₂? · Бесконечный разрыв внутри отрезка
Нет, они независимы. Одинаковые ε дают только главное значение.
Прямая на плоскости
Что значит «точка лежит на линии»? · Линии на плоскости
Её координаты подходят под уравнение линии.
Какой степени уравнение прямой? · Уравнения прямой
Первой: Ax + By + C = 0.
Когда две прямые перпендикулярны? · Угол между прямыми
Когда k₁ · k₂ = −1.
Как найти расстояние от точки до прямой? · Расстояние до прямой
Подставить точку в Ax + By + C, взять модуль, поделить на √(A² + B²).
Кривые второго порядка
Какая формула у окружности с центром (x₀; y₀)? · Окружность
(x − x₀)² + (y − y₀)² = R².
Что постоянно у эллипса? · Эллипс
Сумма расстояний до двух фокусов, она равна 2a.
Что постоянно у гиперболы? · Гипербола
Модуль разности расстояний до двух фокусов, он равен 2a.
Чему равен эксцентриситет параболы? · Парабола
Единице: ε = 1.
Трёхмерная геометрия
Как называется стрелка, перпендикулярная плоскости? · Плоскость
Нормаль, или нормальный вектор.
Когда две плоскости перпендикулярны? · Расстояние и углы
Когда A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.
Что задаёт направление прямой? · Прямая в пространстве
Направляющий вектор S {m; n; p}.
Когда прямая параллельна плоскости? · Прямая и плоскость
Когда Am + Bn + Cp = 0.
Чему равно расстояние между пересекающимися прямыми? · Расстояние между прямыми
Нулю.
Поверхности 2-го порядка
Каким будет эллипсоид, если a = b = c? · Эллипсоид и сфера
Сферой, то есть мячом.
Какая правая часть у двуполостного гиперболоида? · Гиперболоиды
−1, а у однополостного 1.
Что получится в сечении z = 0 у гиперболического параболоида? · Параболоиды и конус
Две пересекающиеся прямые: y = ±(b/a)·x.
Как называется кривая, по которой движется прямая цилиндра? · Цилиндры и вращение
Направляющая.