Лекция 2 · Часть I
Системы уравнений
Уже открытаЧто такое система уравнений
Система уравнений — это несколько загадок про одни и те же числа. Ответ должен подходить ко всем сразу.
Совместна
- Хотя бы один ключ подходит
- Один ключ — определённая
- Много ключей — неопределённая
Несовместна
- Ни один ключ не подходит
- Решений нет
ключ-подбор
A · X = B
A — таблица коэффициентов, X — столбец неизвестных, B — столбец свободных членов.
Запомни
- Решение — набор чисел, при котором все уравнения верны.
- Единственное решение — определённая система.
- Решений много — неопределённая система.
- Расширенная матрица — A с приписанным столбцом B.
Слова для взрослых
- коэффициенты
- числа перед неизвестными
- свободные члены
- числа справа от знака равно
- совместная система
- у неё есть хотя бы одно решение
Как называется система, у которой одно решение?
Определённая.
Крамер и матричный способ
Если определитель системы не ноль, ответы находятся сразу. Два способа: матричный и Крамера.
- Найди определитель Δ матрицы A
- Замени i-й столбец на столбец B — получится Δᵢ
- Раздели Δᵢ на Δ — это значение xᵢ
правило Крамера, если Δ ≠ 0
xᵢ = Δᵢ / Δ
Δ — определитель системы. Δᵢ — определитель с заменённым i-м столбцом. Нужно Δ ≠ 0.
Запомни
- Матричный способ: X = A⁻¹ · B.
- Если Δ = 0, формулы Крамера не подходят — нужен Гаусс.
- Невырожденная система имеет ровно одно решение.
Слова для взрослых
- определитель системы Δ
- определитель таблицы коэффициентов
- невырожденная система
- Δ не равен нулю
- формулы Крамера
- ответы через определители
Когда работают формулы Крамера?
Когда определитель системы не равен нулю.
Метод Гаусса и теорема Кронекера–Капелли
Метод Гаусса убирает неизвестные по одному. Сначала строим ступеньки, потом спускаемся и находим ответы.
- Прямой ход: получаем ступенчатый вид
- Пустые строки 0 = 0 — отбрасываем
- Обратный ход: находим неизвестные с конца
метод Гаусса
r(A) = r(Ā)
Ранг основной матрицы равен рангу расширенной — система совместна (Кронекер–Капелли).
Запомни
- Ступенчатый вид: каждое следующее уравнение короче предыдущего.
- Строка вида 0 = b, где b не ноль — решений нет.
- r = n — определённая; r < n — неопределённая.
- Жордан–Гаусс: приводим к единичной матрице — ответ виден сразу.
Слова для взрослых
- ступенчатый вид
- уравнения идут лесенкой, каждое короче предыдущего
- ранг
- число главных строк после упрощения
- базисные неизвестные
- неизвестные, которые выражаем через остальные
Какая строка означает, что решений нет?
Вида 0 = b, где b не равно нулю.
Однородные системы и ФСР
Однородная система — все справа нули. Ноль-решение всегда подходит, но бывают и другие ответы.
X = c₁e₁ + c₂e₂ + … + cₖeₖ, k = n − r
e₁…eₖ — фундаментальная система решений (ФСР). c₁…cₖ — любые числа. n — число неизвестных.
Запомни
- Ненулевые решения есть, если ранг r меньше n.
- Если определитель системы не ноль — только нулевое решение.
- ФСР — набор независимых решений, остальные — их сочетания.
- Общее решение неоднородной = частное + общее однородной.
Слова для взрослых
- однородная система
- все свободные члены равны нулю
- фундаментальная система решений
- набор решений, через который выражается всё
- тривиальное решение
- все неизвестные равны нулю
Какое решение всегда есть у однородной системы?
Нулевое: все неизвестные равны нулю.