Лекция 11. Неопределённый интеграл — Прикладная математика

1

Первообразная и интеграл

Интеграл — это обратный ход. Знаешь, как всё меняется, и ищешь, каким всё было.

Скорость f

Интегрируем

Путь F + C

обратная дорога

∫f(x)dx = F(x) + C

Интеграл от эф от икс дэ икс равен эф от икс плюс цэ. Цэ — любое число.

Запомни

F — первообразная: её производная равна f.
Интеграл суммы равен сумме интегралов.
Число (не ноль) можно вынести за знак интеграла.

Слова для взрослых

первообразная: функция, у которой производная равна f
неопределённый интеграл: все первообразные сразу: F + C
постоянная C: любое число, его добавляем в конце

Зачем в ответе пишут + C?

Потому что стартовое число может быть любым.

2

Таблица интегралов

Есть готовые ответы на частые случаи. Их надо знать, как таблицу умножения.

Степень xᵅ

1 / x

eˣ

sin x

cos x

табличные интегралы

∫xᵅ dx = xᵅ⁺¹ / (α + 1) + C, α ≠ −1

Икс в степени альфа: степень поднимаем на один и делим на новую степень. Альфа не равна минус единице.

Запомни

∫dx/x = ln|x| + C, при x ≠ 0.
∫eˣ dx = eˣ + C — экспонента сама себе равна.
∫sin x dx = −cos x + C.
∫cos x dx = sin x + C.

Слова для взрослых

табличный интеграл: готовая формула, её надо знать наизусть

Чему равен ∫cos x dx?

sin x + C.

3

Замена переменной

Сложный интеграл можно упростить заменой. Как в конструкторе: сложную деталь меняешь на простую.

Выбери замену: u = φ(x).
Найди dx через du.
Посчитай простой интеграл.
Вернись к исходной букве x.

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]·φ′(t)dt

Икс заменяем на фи от тэ, дэ икс — на фи штрих от тэ, умножить на дэ тэ. В конце возвращаемся к иксу.

Запомни

Замена помогает, когда новый интеграл проще старого.
Пример: ∫cos(ax)dx = (1/a)·sin(ax) + C, a ≠ 0.
Пример: ∫x dx / (x²+a²) = ½·ln(x²+a²) + C.

Слова для взрослых

замена переменной: новая буква вместо сложного кусочка

Что делаем в самом конце замены?

Возвращаемся к исходной букве x.

4

Интегрирование по частям

Иногда интеграл делят на две части. Как торт: сначала один кусок, потом остальное.

Делим на u и dv

Находим du и v

Подставляем в формулу

Считаем ∫v du

интегрирование по частям

∫u dv = u·v − ∫v du

Интеграл от u дэ вэ равен u умножить на вэ минус интеграл от вэ дэ у.

Запомни

Не каждый выбор u и dv упрощает задачу.
Иногда формулу применяют несколько раз.
Пример: ∫x·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C.
Для Pₙ(x)·e^(αx) применяют формулу n раз.

Слова для взрослых

интегрирование по частям: способ: разбить интеграл на части u и dv

Что получится по формуле ∫u dv?

u·v − ∫v du.