Лекция 9 · Часть II
Теоремы о производных
Откроется 31.10Производная от производной — это вторая производная. Она показывает, как меняется сама скорость.
каждый раз берём производную ещё раз
(fg)⁽ⁿ⁾ = Σ(k=0..n) Cₙᵏ · f⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ · g⁽ᵏ⁾, где Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!)
Формула Лейбница: производная n-го порядка от произведения. Читается как сумма слагаемых с числами C.
Запомни
- (f ± g)⁽ⁿ⁾ = f⁽ⁿ⁾ ± g⁽ⁿ⁾ — сумму дифференцируем по частям.
- (cf)⁽ⁿ⁾ = c·f⁽ⁿ⁾ — число c выносится наружу.
- Второй дифференциал: d²f = f″·(dx)². Верно, если x — независимая переменная.
Слова для взрослых
- производная n-го порядка
- производная от производной, взятая n раз
- формула Лейбница
- правило для производной n-го порядка от произведения
- дифференциал
- маленькое изменение функции, записанное через dx
Что такое f⁽²⁾?
Производная от производной f′.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши
Между двумя точками графика есть место, где касательная параллельна хорде. Это главная мысль теорем о среднем.
f(b) − f(a) = f′(ξ) · (b − a), ξ ∈ (a; b)
Формула Лагранжа (конечных приращений). Читается: есть точка ξ между a и b, где наклон касательной равен наклону хорды.
Запомни
- Ферма: в самой высокой или низкой точке f′ = 0.
- Ролль: если f(a) = f(b), то есть точка с f′ = 0.
- Коши: (f(b)−f(a))/(g(b)−g(a)) = f′(ξ)/g′(ξ). Лагранж — частный случай при g(x) = x.
Слова для взрослых
- касательная
- прямая, которая касается графика в одной точке
- хорда
- прямая между двумя точками графика
- теорема Ролля
- если f(a) = f(b), то есть точка с f′ = 0
Что говорит теорема Лагранжа о касательной?
Есть точка, где она параллельна хорде.
Гладкую функцию рядом с точкой можно записать как многочлен и маленький хвостик. Это формула Тейлора.
- Найди f(x₀) и её производные в точке x₀
- Раздели каждую производную на k!
- Умножь на (x − x₀)ᵏ
- Сложи всё — получится многочлен Тейлора
f(x) = Σ(k=0..n) f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ + rₙ(x)
Функция = многочлен Тейлора + остаток rₙ. При x₀ = 0 это формула Маклорена.
Запомни
- Остаток rₙ = o((x − x₀)ⁿ): рядом с x₀ он очень мал.
- Форма Лагранжа: rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x − x₀)ⁿ⁺¹, ξ между x₀ и x.
- eˣ = 1 + x + x²/2! + …; sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
Слова для взрослых
- многочлен Тейлора
- первые слагаемые формулы Тейлора
- формула Маклорена
- формула Тейлора при x₀ = 0
- факториал k!
- 1·2·3·…·k, например 3! = 6
Что такое формула Маклорена?
Формула Тейлора при x₀ = 0.
Если предел даёт 0/0 или ∞/∞, можно взять производные сверху и снизу. Это правило Лопиталя.
- Проверь: получилось 0/0 или ∞/∞?
- Возьми производную отдельно сверху и снизу
- Посчитай новый предел f′/g′
- Всё ещё 0/0? Повтори шаги
lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f′(x)/g′(x)
Правило Лопиталя: если предел f′/g′ существует, то предел f/g такой же. Рядом с точкой g′ ≠ 0.
Запомни
- Виды 0·∞ и ∞ − ∞ сводят к дроби 0/0 или ∞/∞.
- Виды 0⁰, ∞⁰, 1^∞ — сначала логарифмируют.
- Не всегда помогает: (2x + sin x)/x при x → +∞ Лопиталем не берётся.
Слова для взрослых
- неопределённость
- предел, где сразу не видно ответ: 0/0 или ∞/∞
- правило Лопиталя
- предел отношения = предел отношения производных
Когда можно применить правило Лопиталя?
Когда получается 0/0 или ∞/∞.