Лекция 18 · Часть III
Поверхности 2-го порядка
ВпередиМяч и «вытянутый мяч» — это поверхности второго порядка. Их уравнение второй степени.
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
Читается: «икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат, плюс зет квадрат на цэ квадрат, равно единице». Буквы a, b, c — полуоси.
Запомни
- Поверхность второго порядка — уравнение второй степени относительно x, y, z.
- Сфера: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R², центр (a; b; c).
- Эллипсоид ограничен: он внутри коробки размером 2a × 2b × 2c.
Слова для взрослых
- полуоси
- половины длин осей: a, b, c
- эллипсоид
- мяч, немного вытянутый или сплющенный
Каким будет эллипсоид, если a = b = c?
Сферой, то есть мячом.
Гиперболоиды бывают двух видов: один «кусок», как башенка, или две части, как две чашки.
Однополостный
- x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
- Один кусок, бесконечный
- Сечения z = h — эллипсы
- Самый узкий в середине
Двуполостный
- x²/a² + y²/b² − z²/c² = −1
- Две части: сверху и снизу
- Точек нет при |z| < c
- Сечения при |z| > c — эллипсы
x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1
Читается: «икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат, минус зет квадрат на цэ квадрат, равно единице». Это однополостный гиперболоид.
Запомни
- Горловой эллипс — самое узкое сечение, при z = 0.
- У двуполостного справа −1: он не пересекает плоскость z = 0.
- Оба гиперболоида симметричны относительно начала координат.
Слова для взрослых
- гиперболоид
- поверхность, в сечениях которой получаются гиперболы
- горловой эллипс
- самое узкое сечение однополостного гиперболоида
Какая правая часть у двуполостного гиперболоида?
−1, а у однополостного 1.
Параболоид — это чаша, а конус — две воронки, сложенные вершинами.
🥣
Эллиптический параболоид
три знакомые формы
z = x²/a² + y²/b²
Эллиптический параболоид — чаша, открытая вверх. Читается: «зет равно икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат».
Запомни
- Гиперболический параболоид: z = x²/a² − y²/b² — это седло.
- Конус: x²/a² + y²/b² − z²/c² = 0, вершина в начале координат.
- Сечения конуса при z = h — эллипсы, при h = 0 — точка.
Слова для взрослых
- параболоид
- поверхность в форме чаши или седла
- конус второго порядка
- две воронки, соединённые вершинами
Что получится в сечении z = 0 у гиперболического параболоида?
Две пересекающиеся прямые: y = ±(b/a)·x.
Цилиндр — как банка без крышки: одна буква в уравнении не участвует. Вращение — как гончарный круг.
так получают поверхность вращения
z → ±√(x² + z²)
Вращаем кривую вокруг оси Oy: вместо z ставим ±√(x² + z²). Знак выбирай тот же, что у z на исходной кривой.
Запомни
- Цилиндр: в уравнении нет одной буквы, например z: F(x, y) = 0.
- Парабола z² = 2px, вращая вокруг Ox, даёт y² + z² = 2px.
- Тор — не поверхность второго порядка.
Слова для взрослых
- направляющая
- кривая, по которой ведём прямую цилиндра
- поверхность вращения
- кривая, которая крутится вокруг оси
Как называется кривая, по которой движется прямая цилиндра?
Направляющая.