Лекция 4 · Часть I
Произведения векторов
Уже открытаСкалярное произведение перемножает два вектора. Результат — обычное число, а не стрелка.
(x, y) = α₁β₁ + α₂β₂ + … + αₙβₙ
Перемножь числа с одинаковыми номерами и сложи всё. Получится число.
Запомни
- Длина вектора: |x| = √(x, x).
- Угол между векторами: cos φ = (x, y) / (|x|·|y|).
- Если (x, y) = 0, векторы перпендикулярны (ортогональны).
- Неравенство Коши–Буняковского: |(x, y)| ≤ |x|·|y|.
Слова для взрослых
- скалярное произведение
- число, которое получается из двух векторов
- евклидово пространство
- пространство, где есть скалярное произведение и длины
- ортогональные векторы
- перпендикулярные векторы: их скалярное произведение равно нулю
Что получится, если перемножить два вектора скалярно?
Обычное число.
Векторное произведение двух стрелок — это новая стрелка. Она смотрит перпендикулярно обеим.
- Направь указательный палец на вектор a.
- Средний палец — на вектор b.
- Большой палец покажет вектор c = a × b.
|a × b| = |a|·|b|·sin φ
Длина новой стрелки равна площади параллелограмма на a и b. φ — угол между ними.
Запомни
- c перпендикулярен a и b; тройка a, b, c правая.
- Векторы параллельны, если a × b = 0.
- В координатах: определитель 3×3 с i, j, k в первой строке.
- Площадь треугольника ABC: S = ½·|AB × AC|.
Слова для взрослых
- векторное произведение
- вектор c = a × b, перпендикулярный a и b
- правая тройка
- a, b, c как указательный, средний и большой пальцы правой руки
Что будет, если поменять a и b местами?
Вектор сменит направление: a × b = −(b × a).
Смешанное произведение — это три стрелки. Результат — число: объём коробки, построенной на них.
V = |(a × b) · c|
Объём параллелепипеда. Знак «плюс» — правая тройка, «минус» — левая.
Запомни
- В координатах: определитель 3×3 из строк координат a, b, c.
- Ноль, если векторы лежат в одной плоскости (компланарны).
- Пирамида: V = (1/6)·|(AB × AC)·AD|.
Слова для взрослых
- смешанное произведение
- число (a × b)·c: сначала векторное, потом скалярное
- компланарные векторы
- векторы, которые лежат в одной плоскости
- параллелепипед
- коробка, у которой все грани — параллелограммы
Что означает ноль в смешанном произведении?
Векторы лежат в одной плоскости.
Ортонормированный базис — это перпендикулярные стрелки длины 1. Любой базис можно так сделать.
- Возьми любой базис a₁, a₂, …, aₙ.
- Первый вектор оставь: b₁ = a₁.
- Второй подправь, чтобы стал перпендикулярен b₁.
- Раздели каждый вектор на его длину.
b₂ = a₂ − ((a₂, b₁) / (b₁, b₁))·b₁
Так b₂ становится перпендикулярен b₁. Остальные векторы — по тому же правилу.
Запомни
- Ненулевые попарно перпендикулярные векторы всегда независимы.
- Ортонормированный: перпендикулярны, и все длины равны 1.
- Стандартный базис (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), … — ортонормированный.
Слова для взрослых
- ортогональный базис
- базис из попарно перпендикулярных векторов
- ортонормированный базис
- ортогональный базис, где все векторы длины 1
- ортогонализация
- процесс, который делает базис перпендикулярным
Какие векторы образуют ортонормированный базис?
Перпендикулярные друг другу, каждый длиной 1.