Интегрирование иррациональных функций

Запомни

• Для √x и ∛x берём x = t⁶, dx = 6t⁵ dt.
• Ответ для ∫dx/(√x+∛x): 2√x − 3∛x + 6⁶√x − 6·ln(⁶√x + 1) + C.
• Для √((x−1)(x−2)) берём t² = (x−2)/(x−1).

Слова для взрослых

иррациональная функция

функция, где x стоит под корнем

общий знаменатель

число, которое делится на все знаменатели степеней

Запомни

• Возводим в квадрат и выражаем x через t.
• Если есть корни x₁ и x₂: t² = a(x−x₂)/(x−x₁).
• Если c > 0: корень = ±√c ± x·t.
• Если a < 0 и корней нет, корень мнимый, такой случай не берём.

Слова для взрослых

подстановка Эйлера

замена, которая убирает корень из квадратного трёхчлена

квадратный трёхчлен

выражение вида ax² + bx + c

Запомни

• u = tg(x/2) — тангенс половины угла, новая буква.
• Иногда проще взять u = sin x, u = cos x или u = tg x.
• Пример: ∫dx/(1 + sin x) = −2/(1 + tg(x/2)) + C.
• Пример: ∫dx/cos⁴x = tg x + tg³x/3 + C, берём u = tg x.

Слова для взрослых

тангенс (tg)

отношение синуса к косинусу

dx через du

dx = 2du / (1 + u²) при u = tg(x/2)

Запомни

• Берём по частям дважды: нужный интеграл появляется снова, его выражаем.
• sin αx·cos βx = ½[sin(α+β)x + sin(α−β)x].
• Пример: ∫x²·sin x dx = −x²cos x + 2x·sin x + 2cos x + C.
• Если степень sin или cos нечётная, берём u = cos x или u = sin x.

Слова для взрослых

e^(αx)

показательная функция: e в степени α·x

повторное интегрирование по частям

формула по частям применяется два раза подряд