Лекция 15 · Часть III
Прямая на плоскости
ВпередиЛиния на плоскости — это дорожка из точек. Её можно записать одной формулой с x и y.
- Возьми формулу линии
- Подставь x и y точки
- Сошлось? Точка на линии!
так проверяем точку
F(x, y) = 0
F — формула линии. Точка лежит на линии, если её x и y подходят.
Запомни
- Порядок — наибольшая сумма степеней x и y в формуле.
- Прямая — линия первого порядка: x + 2y + 2 = 0.
- Парабола y = x² — линия второго порядка.
- Формула x² + y² + 1 = 0 не задаёт никакой линии.
Слова для взрослых
- уравнение линии
- формула, которой подходят все точки линии и только они
- порядок линии
- наибольшая сумма степеней x и y в уравнении
Что значит «точка лежит на линии»?
Её координаты подходят под уравнение линии.
Прямую можно записать разными формулами. Все они простые, первой степени.
Ax + By + C = 0
«А икс плюс бэ игрек плюс цэ равно нулю». Так записывается любая прямая.
Запомни
- Через M₀ перпендикулярно n{A; B}: A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0.
- Наклон: y = kx + b, где k = tg α, а b — отрезок на оси OY.
- Через две точки: (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁).
- В отрезках: x/a + y/b = 1, где a и b — отрезки на осях.
Слова для взрослых
- нормальный вектор
- стрелка, перпендикулярная прямой; её координаты — A и B
- угловой коэффициент k
- тангенс угла наклона прямой к оси OX
- каноническое уравнение
- (x − x₀)/m = (y − y₀)/n, где S{m; n} — направляющий вектор
Какой степени уравнение прямой?
Первой: Ax + By + C = 0.
Две прямые могут идти рядом, как рельсы. Или пересечься крестом.
Параллельны
- k₁ = k₂
- A₁/A₂ = B₁/B₂
- m₁/m₂ = n₁/n₂
Перпендикулярны
- k₁ · k₂ = −1
- A₁A₂ + B₁B₂ = 0
- m₁m₂ + n₁n₂ = 0
k₁ · k₂ = −1
Наклоны перемножили — вышел минус единица. Значит, прямые пересеклись под прямым углом.
Запомни
- Угол между прямыми: tg θ = (k₁ − k₂)/(1 + k₁k₂).
- Параллельные прямые имеют одинаковый наклон k.
- Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами.
- Вертикальная прямая x = x₀ наклона не имеет, k у неё нет.
Слова для взрослых
- параллельные прямые
- прямые, которые не пересекаются
- перпендикулярные прямые
- прямые, которые пересекаются под углом 90°
Когда две прямые перпендикулярны?
Когда k₁ · k₂ = −1.
Расстояние от точки до прямой — самый короткий путь. Он идёт прямо, под прямым углом.
- Возьми уравнение Ax + By + C = 0
- Подставь x₀ и y₀ точки
- Возьми модуль числа
- Раздели на √(A² + B²)
как найти расстояние
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
Подставь координаты точки. Возьми модуль. Раздели на длину вектора n.
Запомни
- Пример: точка (5; 7) и прямая 2x − 3y − 4 = 0.
- d = |−15| / √13 = 15/√13 ≈ 4,16.
- Между параллельными: возьми точку на одной и измерь до другой.
Слова для взрослых
- модуль
- число без минуса: |−15| = 15
- длина вектора n
- √(A² + B²) — корень из суммы квадратов A и B
Как найти расстояние от точки до прямой?
Подставить точку в Ax + By + C, взять модуль, поделить на √(A² + B²).