Лекция 6 · Часть II
Пределы
Уже открытаЛогика, множества, кванторы
Математика говорит очень точно. Любое утверждение бывает либо верным, либо неверным. Как строгий судья!
¬(∀x A(x)) = ∃x ¬A(x)
«Не у всех верно» значит: найдётся хотя бы один, у кого нет.
Запомни
- «Земля вращается вокруг Солнца» — верно. «6 делится на 4» — неверно.
- «Если A, то B» ложно только тогда, когда A верно, а B неверно.
- Множество — набор объектов с общим признаком. Например, деревья в парке.
- Из «если A, то B» не всегда следует обратное «если B, то A».
Слова для взрослых
- высказывание
- утверждение, которое верно или неверно
- импликация ⇒
- «если A, то B»
- квантор
- знак «для всех» ∀ или «существует» ∃
- пересечение ∩
- то, что есть и в первом, и во втором множестве
Что значит значок ∀?
«Для всех».
Метод математической индукции
Как доказать, что правило верно для всех чисел? Проверь первое и докажи переход к следующему.
- База: проверь первый случай (n = n₀).
- Шаг: если верно для k, докажи для k + 1.
- Вывод: верно для всех n ≥ n₀.
метод математической индукции
k ∈ A ⇒ k + 1 ∈ A
Если верно для k, то верно и для k + 1.
Запомни
- Метод нужен для утверждений, которые зависят от натурального n.
- Пример: неравенство Бернулли доказывают именно этим методом.
- Нужны все три шага: база, шаг и вывод.
Слова для взрослых
- база индукции
- проверка первого случая
- шаг индукции
- переход от k к k + 1
Какие три шага у метода индукции?
База, шаг индукции и вывод.
Предел последовательности
Представь, что ты идёшь к воротам. Номер n растёт, и числа xₙ всё ближе подходят к числу a.
∀ε > 0 ∃N ∀n > N: |xₙ − a| < ε
Для любого малого ε найдётся номер N. Дальше все xₙ ближе к a, чем на ε.
Запомни
- Предел единственный. Сходящаяся последовательность ограничена.
- Растёт и не выше какого-то числа — значит, сходится.
- Важный предел: lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,718.
- Из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся часть.
Слова для взрослых
- предел последовательности
- число, к которому подходят члены при большом n
- ограниченная
- все члены не уходят дальше какого-то числа M
- монотонная
- всё время растёт или всё время убывает
- подпоследовательность
- часть последовательности с растущими номерами
Последовательность растёт и не выше какого-то числа. Что с ней?
Она сходится.
Функция — машинка: ты даёшь x, а она выдаёт f(x). Предел — число, к которому приходит ответ, когда x подходит к x₀.
Подходим слева
- x меньше x₀
- ответ стремится к A
Подходим справа
- x больше x₀
- ответ стремится к A
оба пути ведут к одному числу A
∀ε > 0 ∃δ > 0: 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
Для любого малого ε найдётся δ. Если x близко к x₀, то f(x) близко к A.
Запомни
- Предел суммы — сумма пределов. Так же с произведением; частное — если делитель не ноль.
- Если f зажата между φ и g, а φ и g стремятся к A, то f тоже стремится к A.
- Предел есть ровно тогда, когда левый и правый пределы равны.
- Предел A значит: f(x) = A + крошечный хвостик, который стремится к нулю.
Слова для взрослых
- δ (дельта)
- маленький радиус вокруг x₀, который мы выбираем
- односторонний предел
- предел, когда подходим только слева или только справа
- бесконечно малая
- величина, которая стремится к нулю
- частное пределов
- делить пределы можно, если делитель не равен нулю
Когда у функции есть предел в точке x₀?
Когда левый и правый пределы существуют и равны.