Лекция 7 · Часть II
Непрерывность функций одной переменной
Откроется 14.10Непрерывная функция — та, у которой нет скачков. График можно нарисовать, не отрывая карандаш.
lim x → x₀ f(x) = f(x₀)
Предел в точке равен значению в точке. Так пишут «без дырок».
Запомни
- Функция в точке x₀ определена.
- Слева и справа подходим к одному числу — пределу.
- Это число равно f(x₀).
Слова для взрослых
- непрерывность
- график без скачков и дырок
- предел
- число, к которому подходят значения функции
Что значит «функция непрерывна в точке»?
Её предел в точке равен её значению там.
Разрыв — место, где график «рвётся». Таких мест бывает два вида.
Первого рода
- Оба предела существуют
- Скачок или дырка
- Пример: целая часть [x]
Второго рода
- Хотя бы один предел не существует
- Пример: 1/x в точке 0
два вида разрыва
x₀ — разрыв 1-го рода ⇔ существуют оба односторонних предела
Если оба предела есть — первого рода. Иначе — второго рода.
Запомни
- Первого рода: оба односторонних предела существуют.
- Второго рода: хотя бы один предел не существует.
- Если оба предела равны, разрыв устранимый — дырку можно заклеить.
Слова для взрослых
- точка разрыва
- место, где функция не непрерывна
- устранимый разрыв
- пределы слева и справа совпадают
Какой разрыв у 1/x в точке 0?
Второго рода: один из пределов не существует.
Свойства непрерывных функций
Если функция на отрезке без дыр, у неё есть важные свойства.
- Раздели отрезок пополам.
- Оставь половину, где знак меняется.
- Повторяй деление снова и снова.
- Так найдёшь точку, где функция равна нулю.
метод половинного деления
f(a) · f(b) < 0 ⇒ f(ξ) = 0 для некоторого ξ ∈ (a, b)
Знаки на концах разные — внутри точно есть ноль.
Запомни
- Вейерштрасс: есть наибольшее и наименьшее значение.
- Больцано–Коши: встречаются все значения между A и B.
- Если на концах знаки разные, внутри есть ноль.
Слова для взрослых
- отрезок [a, b]
- все числа от a до b, включая концы
- метод половинного деления
- делишь отрезок пополам и оставляешь половину со сменой знака
Что говорит теорема о нуле?
Если на концах знаки разные, внутри есть ноль.
Элементарные функции — синус, логарифм, степень — без дыр там, где определены.
все они непрерывны там, где определены
lim x → 0 sin x = 0
Синус подходит к нулю, когда x подходит к нулю. По этому доказывают непрерывность синуса.
Запомни
- Сумма, произведение и частное тоже непрерывны (на ноль не делим).
- Функция внутри функции тоже непрерывна.
- Обратная к строго возрастающей непрерывной тоже непрерывна.
Слова для взрослых
- элементарная функция
- построена из основных функций сложением, умножением и вложением
- сложная функция
- одна функция подставлена внутрь другой
Непрерывен ли синус?
Да, везде, где он определён.