Лекция 8 · Часть II
Дифференцируемость функций одной переменной
Откроется 21.10Производная — это спидометр функции. Она показывает, как быстро функция меняется.
- Возьми маленький шажок Δx.
- Найди Δy = f(x + Δx) − f(x).
- Раздели Δy на Δx.
- Делай шажок всё меньше. Предел и есть производная.
алгоритм производной
y′ = lim Δx → 0 Δy / Δx
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
Запомни
- y′, f′(x) и dy/dx — записи одной и той же производной.
- Производная — скорость изменения функции в точке.
- Примеры: (C)′ = 0, (x)′ = 1, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹.
Слова для взрослых
- приращение
- на сколько изменилось: новое значение минус старое
- дифференцирование
- поиск производной
Чему равна производная постоянной C?
Нулю: C′ = 0.
Правила дифференцирования
Есть готовые правила. Не надо каждый раз считать предел заново.
строчки таблицы производных
(u / v)′ = (u′·v − u·v′) / v²
Производная дроби. Знаменатель v не должен быть нулём.
Запомни
- (u ± v)′ = u′ ± v′ — суммы считаем по частям.
- (u·v)′ = u′·v + u·v′.
- (C·u)′ = C·u′: константу выносим за знак.
- Таблицу основных производных учат наизусть.
Слова для взрослых
- таблица производных
- готовые ответы для основных функций
- правило дифференцирования
- готовый способ найти производную суммы, произведения или дроби
Чему равна производная sin x?
cos x.
Производная показывает наклон графика в точке. Чем круче горка, тем больше производная.
Касательная
- Касается графика в одной точке
- Наклон k = f′(x₀) = tg α
- Уравнение: y − y₀ = f′(x₀)·(x − x₀)
Нормаль
- Перпендикулярна касательной
- Наклон −1 / f′(x₀)
две прямые в точке касания
y − y₀ = f′(x₀) · (x − x₀)
Уравнение касательной в точке (x₀; y₀), где y₀ = f(x₀).
Запомни
- Механика: скорость — это производная пути, v(t) = s′(t).
- Пример: y = x² − 4x + 7 при x₀ = 3 даёт касательную y = 2x − 2.
- Точка касания: x₀ и y₀ = f(x₀).
Слова для взрослых
- касательная
- прямая, которая касается графика в одной точке
- нормаль
- прямая через точку касания, перпендикулярная касательной
Что равно наклону касательной?
Производная f′(x₀), то есть tg α.
Сложная, обратная, неявная функции
Сложную функцию разбирай по шагам: сначала внешняя часть, потом внутренняя.
- Выдели внутреннюю функцию u(x).
- Продифференцируй внешнюю функцию по u.
- Умножь на производную u(x) по x.
- Проверка: (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b).
сложная функция по шагам
y′(x) = y′(u) · u′(x)
Производная сложной функции: производная снаружи умножить на производную внутри.
Запомни
- Обратная: (f⁻¹)′(y₀) = 1 / f′(x₀), если f′(x₀) ≠ 0.
- Неявная F(x, y) = 0: продифференцируй обе части. Пример: x² + y² = 1 даёт y′ = −x/y.
- Параметрическая x = φ(t), y = ψ(t): y′ = ψ′(t) / φ′(t).
- Вторая производная — производная от первой: f″ = (f′)′.
Слова для взрослых
- сложная функция
- одна функция подставлена внутрь другой
- параметрическое задание
- x и y заданы через третью переменную t
С чего начинают искать производную сложной функции?
С выделения внутренней функции u(x).