Лекция 16 · Часть III
Кривые второго порядка
ВпередиКривые второго порядка — линии, у которых в формуле степень не выше двух. Окружность — самая простая.
четыре кривые второго порядка
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0
Хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.
Запомни
- Окружность — все её точки на одном расстоянии R от центра M₀(x₀; y₀).
- Формула окружности: (x − x₀)² + (y − y₀)² = R².
- Пример: x² + y² − 2x + 6y + 6 = 0 — центр (1; −3), R = 2.
- Эллипс, гипербола и парабола тоже кривые второго порядка.
Слова для взрослых
- центр окружности
- точка, от которой все точки окружности одинаково далеко
- радиус R
- расстояние от центра до любой точки окружности
Какая формула у окружности с центром (x₀; y₀)?
(x − x₀)² + (y − y₀)² = R².
Эллипс — круг, который чуть вытянули. У него два фокуса, как два колышка для нитки.
x²/a² + y²/b² = 1
Икс в квадрате на а в квадрате, плюс игрек в квадрате на бэ в квадрате, равно единице.
Запомни
- Сумма расстояний до двух фокусов постоянна и равна 2a.
- b² = a² − c², где 2c — расстояние между фокусами, c < a.
- Вершины: (±a; 0) и (0; ±b). При a = b получится окружность.
- Эксцентриситет ε = c/a лежит от 0 до 1. Чем ближе к 1, тем сильнее вытянут.
Слова для взрослых
- фокусы
- две заданные точки, от которых считают расстояния
- полуоси a и b
- a — большая половина оси, b — малая
Что постоянно у эллипса?
Сумма расстояний до двух фокусов, она равна 2a.
Гипербола — две ветки, которые смотрят в разные стороны. Разность расстояний до фокусов всегда одна.
Ветки влево-вправо
- x²/a² − y²/b² = 1
- вершины (±a; 0)
- b² = c² − a²
Ветки вверх-вниз
- y²/a² − x²/b² = 1
- вершины (0; ±a)
- c² = a² + b²
x²/a² − y²/b² = 1
Минус между слагаемыми: ветки уходят влево и вправо, по оси OX.
Запомни
- Модуль разности расстояний до фокусов равен 2a.
- Эксцентриситет ε = c/a больше единицы, потому что c > a.
- Асимптоты: y = ±(b/a)x. Ветка всё ближе к ним при x → ∞.
- Равнобочная гипербола: a = b, асимптоты y = ±x.
Слова для взрослых
- асимптота
- прямая, к которой ветка приближается при x → ∞
- сопряжённая гипербола
- y²/a² − x²/b² = 1: ветки смотрят вверх и вниз
Что постоянно у гиперболы?
Модуль разности расстояний до двух фокусов, он равен 2a.
Парабола — как мяч, брошенный по дуге. Её форму задают фокус и прямая-директриса.
- Возьми точку F — фокус
- Проведи прямую — директрису
- Точки параболы одинаково далеки от обоих
- Получилось: y² = 2px
откуда берётся парабола
y² = 2px
Игрек в квадрате равно два пэ икс. Фокус (p/2; 0), директриса x = −p/2.
Запомни
- Фокус F(p/2; 0), директриса x = −p/2.
- x² = 2py: ветки смотрят вверх, фокус (0; p/2), директриса y = −p/2.
- Пример: фокус (3; 0), значит p = 6, и y² = 12x, директриса x = −3.
- Эксцентриситет параболы равен 1.
Слова для взрослых
- директриса
- прямая, до которой у точки параболы такое же расстояние, как до фокуса
- вершина
- самая «острая» точка параболы; у y² = 2px это O(0; 0)
Чему равен эксцентриситет параболы?
Единице: ε = 1.