Шпаргалка формул
Главная формула каждой карточки. Нажми на тему, чтобы прочитать объяснение.
1
Матрицы и определители
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Матрица — таблица чисел | A = (aᵢⱼ), размер m × n | aᵢⱼ — конфетка в строке i и столбце j. Строк m, столбцов n. |
| Определитель | det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁ | Пример: |2 3; 5 7| = 2·7 − 3·5 = −1. |
| Обратная матрица | A⁻¹ = (1 / det A) · A∨ | A∨ — присоединённая: из алгебраических дополнений, транспонированная. A · A⁻¹ = E. |
| Ранг матрицы | r(A) — ранг: максимальный порядок ненулевого минора | Проще: сколько строк остаётся после упрощения. |
2
Системы уравнений
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Что такое система уравнений | A · X = B | A — таблица коэффициентов, X — столбец неизвестных, B — столбец свободных членов. |
| Крамер и матричный способ | xᵢ = Δᵢ / Δ | Δ — определитель системы. Δᵢ — определитель с заменённым i-м столбцом. Нужно Δ ≠ 0. |
| Метод Гаусса и теорема Кронекера–Капелли | r(A) = r(Ā) | Ранг основной матрицы равен рангу расширенной — система совместна (Кронекер–Капелли). |
| Однородные системы и ФСР | X = c₁e₁ + c₂e₂ + … + cₖeₖ, k = n − r | e₁…eₖ — фундаментальная система решений (ФСР). c₁…cₖ — любые числа. n — число неизвестных. |
3
Векторные пространства
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Линейное пространство | x + y = y + x; α(x + y) = αx + αy | Первое: порядок сложения не важен. Второе: число «раскрывает скобки». |
| Линейная зависимость | λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λₙaₙ = 0 | Если хотя бы одно λ не ноль, набор зависимый. Если все λ нули, независимый. |
| Базис и координаты | x = x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ | Читается: «икс равно икс-один эф-один плюс…». Числа x₁…xₙ — координаты x. |
| Переход к другому базису | ξ = C·η; η = C⁻¹·ξ | Старые координаты получаем умножением на C. Обратно — на обратную матрицу C⁻¹. |
| Аффинное пространство | MN + NP = MP | Пройти из M в N, потом из N в P — то же самое, что сразу из M в P. |
4
Произведения векторов
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Скалярное произведение | (x, y) = α₁β₁ + α₂β₂ + … + αₙβₙ | Перемножь числа с одинаковыми номерами и сложи всё. Получится число. |
| Векторное произведение | |a × b| = |a|·|b|·sin φ | Длина новой стрелки равна площади параллелограмма на a и b. φ — угол между ними. |
| Смешанное произведение | V = |(a × b) · c| | Объём параллелепипеда. Знак «плюс» — правая тройка, «минус» — левая. |
| Ортонормированный базис | b₂ = a₂ − ((a₂, b₁) / (b₁, b₁))·b₁ | Так b₂ становится перпендикулярен b₁. Остальные векторы — по тому же правилу. |
5
Линейные отображения
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Линейное отображение | A(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁A(v₁) + λ₂A(v₂) | Одна формула заменяет два правила: сложение и умножение на число. Ноль переходит в ноль. |
| Ядро и образ | dim(Ker A) + dim(Im A) = dim V | Размер ядра плюс размер образа равен размеру исходного пространства. |
| Матрица отображения | w = A·v | Координаты образа w получаем умножением матрицы A на координаты прообраза v. |
| Линейные операторы | A_f = S⁻¹ · A_e · S | S — матрица перехода от базиса e к базису f. Такие матрицы называют подобными. |
6
Пределы
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Логика, множества, кванторы | ¬(∀x A(x)) = ∃x ¬A(x) | «Не у всех верно» значит: найдётся хотя бы один, у кого нет. |
| Метод математической индукции | k ∈ A ⇒ k + 1 ∈ A | Если верно для k, то верно и для k + 1. |
| Предел последовательности | ∀ε > 0 ∃N ∀n > N: |xₙ − a| < ε | Для любого малого ε найдётся номер N. Дальше все xₙ ближе к a, чем на ε. |
| Предел функции | ∀ε > 0 ∃δ > 0: 0 < |x − x₀| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε | Для любого малого ε найдётся δ. Если x близко к x₀, то f(x) близко к A. |
7
Непрерывность функций одной переменной
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Непрерывность в точке | lim x → x₀ f(x) = f(x₀) | Предел в точке равен значению в точке. Так пишут «без дырок». |
| Точки разрыва | x₀ — разрыв 1-го рода ⇔ существуют оба односторонних предела | Если оба предела есть — первого рода. Иначе — второго рода. |
| Свойства непрерывных функций | f(a) · f(b) < 0 ⇒ f(ξ) = 0 для некоторого ξ ∈ (a, b) | Знаки на концах разные — внутри точно есть ноль. |
| Элементарные функции | lim x → 0 sin x = 0 | Синус подходит к нулю, когда x подходит к нулю. По этому доказывают непрерывность синуса. |
8
Дифференцируемость функций одной переменной
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Что такое производная | y′ = lim Δx → 0 Δy / Δx | Предел отношения приращения функции к приращению аргумента. |
| Правила дифференцирования | (u / v)′ = (u′·v − u·v′) / v² | Производная дроби. Знаменатель v не должен быть нулём. |
| Касательная и скорость | y − y₀ = f′(x₀) · (x − x₀) | Уравнение касательной в точке (x₀; y₀), где y₀ = f(x₀). |
| Сложная, обратная, неявная функции | y′(x) = y′(u) · u′(x) | Производная сложной функции: производная снаружи умножить на производную внутри. |
9
Теоремы о производных
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Высшие производные | (fg)⁽ⁿ⁾ = Σ(k=0..n) Cₙᵏ · f⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ · g⁽ᵏ⁾, где Cₙᵏ = n!/(k!(n−k)!) | Формула Лейбница: производная n-го порядка от произведения. Читается как сумма слагаемых с числами C. |
| Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши | f(b) − f(a) = f′(ξ) · (b − a), ξ ∈ (a; b) | Формула Лагранжа (конечных приращений). Читается: есть точка ξ между a и b, где наклон касательной равен наклону хорды. |
| Формула Тейлора | f(x) = Σ(k=0..n) f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ + rₙ(x) | Функция = многочлен Тейлора + остаток rₙ. При x₀ = 0 это формула Маклорена. |
| Правило Лопиталя | lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f′(x)/g′(x) | Правило Лопиталя: если предел f′/g′ существует, то предел f/g такой же. Рядом с точкой g′ ≠ 0. |
10
Применение производных
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Возрастание и экстремумы | f′(x) ≥ 0 на (a; b) ⇔ f возрастает на (a; b) | Читается: если производная не отрицательная, функция растёт. Для убывания нужен знак f′ ≤ 0. |
| Выпуклость и перегибы | f′(x₀) = 0 и f″(x₀) > 0 ⇒ x₀ — минимум; f″(x₀) < 0 ⇒ x₀ — максимум | Признак экстремума через вторую производную. Сначала находим точку, где f′ = 0. |
| Асимптоты | k = lim(x→∞) f(x)/x, b = lim(x→∞) (f(x) − k·x), y = k·x + b | Наклонная асимптота y = kx + b. Если k = 0, она горизонтальная: b = lim f(x). |
| Наибольшее и наименьшее значение | max[a; b] f = max{ f(xкрит), f(a), f(b) } | Работает на замкнутом отрезке, где функция непрерывна. Берём все кандидаты и сравниваем. |
11
Неопределённый интеграл
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Первообразная и интеграл | ∫f(x)dx = F(x) + C | Интеграл от эф от икс дэ икс равен эф от икс плюс цэ. Цэ — любое число. |
| Таблица интегралов | ∫xᵅ dx = xᵅ⁺¹ / (α + 1) + C, α ≠ −1 | Икс в степени альфа: степень поднимаем на один и делим на новую степень. Альфа не равна минус единице. |
| Замена переменной | ∫f(x)dx = ∫f[φ(t)]·φ′(t)dt | Икс заменяем на фи от тэ, дэ икс — на фи штрих от тэ, умножить на дэ тэ. В конце возвращаемся к иксу. |
| Интегрирование по частям | ∫u dv = u·v − ∫v du | Интеграл от u дэ вэ равен u умножить на вэ минус интеграл от вэ дэ у. |
12
Интегрирование рациональных функций
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Рациональные дроби | P(x) / Q(x) = R(x) + P₁(x) / Q₁(x) | Пэ от икс на ку от икс равно эр от икс плюс пэ один на ку один. Дробь пэ один на ку один — правильная. |
| Разложение на простые дроби | A / (x − a)ᵅ + (Mx + N) / (x² + px + q)ᵝ | Это элементарные дроби. Буквы A, M, N — числа, которые надо найти. |
| Интегралы простых дробей | ∫A/(x − a) dx = A·ln|x − a| + C | Интеграл от А на икс минус а дэ икс равен А умножить на логарифм модуля икс минус а, плюс цэ. |
| Интеграл рациональной дроби | ∫ x dx / ((x²−1)(x−2)) = −½·ln|x−1| − ⅙·ln|x+1| + ⅔·ln|x−2| + C | Интеграл от икс на икс квадрат минус один, умножить на икс минус два, равен сумме трёх логарифмов с коэффициентами. Плюс цэ. |
13
Интегрирование иррациональных функций
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Корни и подстановка t | tᵐ = (ax + b) / (cx + d) | Тэ в степени эм равно дробь: а икс плюс бэ на це икс плюс дэ. Эм — общий знаменатель степеней корня. |
| Подстановки Эйлера | √(ax² + bx + c) = ±x·√a ± t | Корень из а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равен плюс-минус икс корень из а, плюс-минус тэ. Знаки можно брать любые. |
| Тригонометрические: u = tg(x/2) | sin x = 2u / (1 + u²), cos x = (1 − u²) / (1 + u²) | Синус икс равен два у на один плюс у квадрат. Косинус икс равен один минус у квадрат на один плюс у квадрат. Здесь у — тангенс половины икса. |
| Синус, косинус и экспонента | ∫ e^(αx)·cos βx dx = e^(αx)·(β·sin βx + α·cos βx) / (α² + β²) + C | Интеграл от е в степени альфа икс, на косинус бэ икс, равен дроби: е в степени альфа икс, на скобку из бэ синус бэ икс плюс альфа косинус бэ икс, делённое на альфа квадрат плюс бэ квадрат. Плюс цэ. |
14
Определённый интеграл
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Интегральная сумма и площадь | ∫ₐᵇ f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(x̄ₖ)·Δxₖ | Читается: «интеграл от а до б». Это предел суммы полосок, когда они очень тонкие. |
| Свойства интеграла | ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx | Отрезок от а до б можно разрезать точкой c. Площади кусков складываются. |
| Формула Ньютона–Лейбница | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | Формула Ньютона–Лейбница. Здесь F′(x) = f(x): F — первообразная для f. |
| Несобственные интегралы | ∫ₐ^(+∞) f(x) dx = lim(A→+∞) ∫ₐᴬ f(x) dx | Считаем обычный интеграл до числа A. Потом смотрим, к чему он стремится, когда A растёт. |
| Бесконечный разрыв внутри отрезка | ∫ₐᵇ f dx = lim(ε₁→+0) ∫ₐ^(c−ε₁) f dx + lim(ε₂→+0) ∫_(c+ε₂)^b f dx | Два предела считаются отдельно. Если хотя бы одна часть расходится, расходится и весь интеграл. |
15
Прямая на плоскости
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Линии на плоскости | F(x, y) = 0 | F — формула линии. Точка лежит на линии, если её x и y подходят. |
| Уравнения прямой | Ax + By + C = 0 | «А икс плюс бэ игрек плюс цэ равно нулю». Так записывается любая прямая. |
| Угол между прямыми | k₁ · k₂ = −1 | Наклоны перемножили — вышел минус единица. Значит, прямые пересеклись под прямым углом. |
| Расстояние до прямой | d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) | Подставь координаты точки. Возьми модуль. Раздели на длину вектора n. |
16
Кривые второго порядка
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Окружность | Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 | Хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. |
| Эллипс | x²/a² + y²/b² = 1 | Икс в квадрате на а в квадрате, плюс игрек в квадрате на бэ в квадрате, равно единице. |
| Гипербола | x²/a² − y²/b² = 1 | Минус между слагаемыми: ветки уходят влево и вправо, по оси OX. |
| Парабола | y² = 2px | Игрек в квадрате равно два пэ икс. Фокус (p/2; 0), директриса x = −p/2. |
17
Трёхмерная геометрия
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Плоскость | Ax + By + Cz + D = 0 | Читается: «А икс плюс бэ игрек плюс цэ зет плюс дэ равно нулю». Буквы A, B, C — координаты нормали n. |
| Расстояние и углы | d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) | «Дэ» равно модулю выражения, делённому на корень из суммы квадратов A, B, C. Это короткий путь от точки до плоскости. |
| Прямая в пространстве | (x − x₀)/m = (y − y₀)/n = (z − z₀)/p = t | Читается: «икс минус икс нулевое, делить на эм» — и так же для игрека и зета. Вектор S {m; n; p} задаёт направление. |
| Прямая и плоскость | sin φ = |Am + Bn + Cp| / (√(A² + B² + C²) · √(m² + n² + p²)) | φ — угол между прямой S {m; n; p} и плоскостью с нормалью {A; B; C}. |
| Расстояние между прямыми | d = |(M₁M₂, S₁, S₂)| / |S₁ × S₂| | Скрещивающиеся прямые: объём параллелепипеда (смешанное произведение) делим на площадь основания (длина векторного произведения). |
18
Поверхности 2-го порядка
| Тема | Формула | Как читать |
|---|---|---|
| Эллипсоид и сфера | x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 | Читается: «икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат, плюс зет квадрат на цэ квадрат, равно единице». Буквы a, b, c — полуоси. |
| Гиперболоиды | x²/a² + y²/b² − z²/c² = 1 | Читается: «икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат, минус зет квадрат на цэ квадрат, равно единице». Это однополостный гиперболоид. |
| Параболоиды и конус | z = x²/a² + y²/b² | Эллиптический параболоид — чаша, открытая вверх. Читается: «зет равно икс квадрат на а квадрат, плюс игрек квадрат на бэ квадрат». |
| Цилиндры и вращение | z → ±√(x² + z²) | Вращаем кривую вокруг оси Oy: вместо z ставим ±√(x² + z²). Знак выбирай тот же, что у z на исходной кривой. |