Лекция 17. Трёхмерная геометрия — Прикладная математика

1

Плоскость

Поверхность — это все точки, которые подходят под одно правило. Плоскость — самая простая из них.

Точка M₀

Нормаль n {A; B; C}

Раскрой скобки

Общее уравнение

так строится уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

Читается: «А икс плюс бэ игрек плюс цэ зет плюс дэ равно нулю». Буквы A, B, C — координаты нормали n.

Запомни

Точка на поверхности, если её координаты подходят к уравнению F(x, y, z) = 0.
Плоскость — поверхность первого порядка.
Сфера — второго порядка: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².

Слова для взрослых

поверхность: все точки, которые подходят под одно уравнение
нормаль: стрелка, перпендикулярная плоскости

Как называется стрелка, перпендикулярная плоскости?

Нормаль, или нормальный вектор.

2

Расстояние и углы

Хочешь узнать, далеко ли точка от плоскости? Есть готовая формула.

Возьми точку M₀(x₀; y₀; z₀)
Подставь её в Ax + By + Cz + D
Возьми модуль — число без минуса
Раздели на √(A² + B² + C²)

как измерить расстояние до стены

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

«Дэ» равно модулю выражения, делённому на корень из суммы квадратов A, B, C. Это короткий путь от точки до плоскости.

Запомни

Расстояние — длина перпендикуляра из точки на плоскость.
Параллельны: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂.
Перпендикулярны: A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.
Угол между плоскостями — угол между их нормалями.

Слова для взрослых

модуль: число без минуса: |−3| = 3
перпендикуляр: самая короткая линия из точки до плоскости

Когда две плоскости перпендикулярны?

Когда A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

3

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве — как бесконечная палка. Чтобы её записать, нужны точка и направление.

Точка M₀(x₀; y₀; z₀)

Направление S {m; n; p}

Приравняй к t

Параметры x, y, z

так записывается прямая

(x − x₀)/m = (y − y₀)/n = (z − z₀)/p = t

Читается: «икс минус икс нулевое, делить на эм» — и так же для игрека и зета. Вектор S {m; n; p} задаёт направление.

Запомни

Параметрические: x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt.
Через две точки M₁, M₂ направляющий вектор — это M₁M₂.
Прямая — пересечение двух плоскостей, записанное системой.

Слова для взрослых

направляющий вектор: стрелка, параллельная прямой
параметр t: число, которое «шагает» по прямой

Что задаёт направление прямой?

Направляющий вектор S {m; n; p}.

4

Прямая и плоскость

Прямая и плоскость могут стать параллельными, перпендикулярными или пересечься. Проверь формулой.

Прямая и плоскость

Параллельны: Am + Bn + Cp = 0
Перпендикулярны: A/m = B/n = C/p
Пересекаются: Am + Bn + Cp ≠ 0

Две прямые

Параллельны: S₁ ∥ S₂
Пересекаются: (M₁M₂, S₁, S₂) = 0
Скрещиваются: смешанное произведение ≠ 0

sin φ = |Am + Bn + Cp| / (√(A² + B² + C²) · √(m² + n² + p²))

φ — угол между прямой S {m; n; p} и плоскостью с нормалью {A; B; C}.

Запомни

Точка пересечения: подставь параметрические x, y, z в плоскость.
Расстояние от точки до прямой: |M₀M₁ × S| / |S|.
Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

Слова для взрослых

угол между прямой и плоскостью: угол между прямой и её тенью на плоскости
скрещивающиеся прямые: прямые, которые не лежат в одной плоскости

Когда прямая параллельна плоскости?

Когда Am + Bn + Cp = 0.

5

Расстояние между прямыми

Как далеко друг от друга две прямые в пространстве? Всё зависит от того, смотрят ли они в одну сторону.

Параллельные (векторы S₁ и S₂ коллинеарны)

Берём точку на одной прямой
Считаем её расстояние до другой прямой

Скрещивающиеся (S₁ и S₂ не коллинеарны)

Строим параллелепипед на векторах M₁M₂, S₁, S₂
Расстояние — его высота

d = |(M₁M₂, S₁, S₂)| / |S₁ × S₂|

Скрещивающиеся прямые: объём параллелепипеда (смешанное произведение) делим на площадь основания (длина векторного произведения).

Запомни

Параллельные или совпадающие прямые: d = |M₂M₁ × S₂| / |S₂|, как расстояние от точки до прямой.
Если прямые пересекаются, расстояние равно нулю.
Расстояние от точки M₁ до прямой с точкой M₀ и направляющим вектором S: d = |M₀M₁ × S| / |S|. Для M₁(9; 6; 5) и (x−3)/2 = (y−2)/2 = (z−4)/1 получается d = 2.

Слова для взрослых

скрещивающиеся прямые: не параллельны и не пересекаются
общий перпендикуляр: самый короткий отрезок между скрещивающимися прямыми
направляющий вектор: вектор S, параллельный прямой

Чему равно расстояние между пересекающимися прямыми?

Нулю.