Лекция 12 · Часть II
Интегрирование рациональных функций
ВпередиДробь из двух многочленов — как пирог. Если верх ниже по степени, дробь «правильная».
Правильная
- Степень верха меньше степени низа
- Например: x / (x² − 1)
Неправильная
- Степень верха не меньше низа
- Сначала делим, как столбиком
P(x) / Q(x) = R(x) + P₁(x) / Q₁(x)
Пэ от икс на ку от икс равно эр от икс плюс пэ один на ку один. Дробь пэ один на ку один — правильная.
Запомни
- Степень многочлена — сколько раз x умножен сам на себя.
- Неправильную дробь сначала делим, как столбиком.
- Правильную дробь потом раскладываем на простые.
Слова для взрослых
- многочлен
- сумма степеней x с числами, например x² − 1
- правильная дробь
- степень верха меньше степени низа
Когда дробь называется правильной?
Когда степень верха меньше степени низа.
Разложение на простые дроби
Правильную дробь можно разбить на простые кусочки. Как сдачу: крупную купюру меняют на монетки.
A / (x − a)ᵅ + (Mx + N) / (x² + px + q)ᵝ
Это элементарные дроби. Буквы A, M, N — числа, которые надо найти.
Запомни
- Любая правильная дробь раскладывается на элементарные.
- Числа ищем методом неопределённых коэффициентов.
- Подставь корни знаменателя: числа находятся быстрее.
- Пример: x/((x²−1)(x−2)) = −1/(2(x−1)) − 1/(6(x+1)) + 2/(3(x−2)).
Слова для взрослых
- элементарная дробь
- простая дробь вида A/(x−a)ⁿ или (Mx+N)/(x²+px+q)ⁿ
- неопределённые коэффициенты
- неизвестные числа, которые находим при разложении
Как называются простые дроби, на которые раскладываем?
Элементарные рациональные дроби.
Интегралы простых дробей
Простые дроби интегрируются легко. Есть готовые рецепты для каждого вида.
∫A/(x − a) dx = A·ln|x − a| + C
Интеграл от А на икс минус а дэ икс равен А умножить на логарифм модуля икс минус а, плюс цэ.
Запомни
- При n ≠ 1: ∫A/(x−a)ⁿ dx = −A / ((n−1)(x−a)ⁿ⁻¹) + C.
- В квадрате x² + px + q делаем замену t = x + p/2.
- Затем ∫dt/(t²+a²) = (1/a)·arctg(t/a) + C.
Слова для взрослых
- ln
- натуральный логарифм, есть кнопка на калькуляторе
- arctg
- угол, у которого тангенс равен данному числу
Чему равен ∫dx/(x−a)?
ln|x−a| + C.
Интеграл рациональной дроби
Любую рациональную дробь можно проинтегрировать по одному порядку. Как собирать пазл: сначала края, потом кусочки.
- Выдели целую часть: дели верх на низ.
- Разложи правильную дробь на элементарные.
- Интегрируй каждое слагаемое отдельно.
- Сложи ответы и не забудь + C.
∫ x dx / ((x²−1)(x−2)) = −½·ln|x−1| − ⅙·ln|x+1| + ⅔·ln|x−2| + C
Интеграл от икс на икс квадрат минус один, умножить на икс минус два, равен сумме трёх логарифмов с коэффициентами. Плюс цэ.
Запомни
- Теорема: интеграл от рациональной дроби — через дроби, ln и arctg.
- Знаменатель не должен обращаться в ноль на промежутке.
- Иногда короче решить другим способом, например по частям.
Слова для взрослых
- рациональная функция
- дробь из двух многочленов
- целая часть
- полные части, которые получаются при делении верха на низ
Что обычно получается в ответе?
Рациональные дроби, arctg и ln.