Лекция 14 · Часть II
Определённый интеграл
Откроется 05.12Интегральная сумма и площадь
Хочешь найти площадь под кривой? Режь её на тонкие полоски и складывай их площади.
так находят точную площадь
∫ₐᵇ f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(x̄ₖ)·Δxₖ
Читается: «интеграл от а до б». Это предел суммы полосок, когда они очень тонкие.
Запомни
- Если f(x) ≥ 0, это площадь под графиком от a до b.
- Чем тоньше полоски, тем точнее ответ.
- Знак ∫ — вытянутая буква S, от слова «сумма».
Слова для взрослых
- определённый интеграл
- предел суммы площадей тонких полосок
- интегральная сумма
- сумма площадей полосок до предела
- ранг дробления λ
- самая широкая полоска; её делаем всё меньше
Что делаем с полосками, чтобы получить точную площадь?
Делаем их всё тоньше.
У интеграла есть правила, как у конфет. Числа можно выносить, а куски — складывать.
главные правила интеграла
∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx
Отрезок от а до б можно разрезать точкой c. Площади кусков складываются.
Запомни
- Число можно вынести за знак: ∫ αf dx = α∫ f dx.
- Интеграл суммы равен сумме интегралов.
- Поменяешь пределы местами — знак станет минусом.
- Если f ≥ g на отрезке, то ∫f ≥ ∫g.
Слова для взрослых
- теорема о среднем
- для непрерывной f найдётся c: ∫ = f(c)(b − a)
- аддитивность
- интеграл по всему отрезку равен сумме кусков
Что будет, если отрезок разрезать точкой c?
Интеграл станет суммой двух кусков.
Формула Ньютона–Лейбница
Чтобы посчитать интеграл, найди первообразную F. Потом вычти значения на концах отрезка.
- Найди первообразную F(x)
- Подставь верхний предел b
- Подставь нижний предел a
- Вычти: F(b) − F(a)
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Формула Ньютона–Лейбница. Здесь F′(x) = f(x): F — первообразная для f.
Запомни
- Пример: ∫₁⁴ √x dx = 14/3. Первообразная: (2/3)·x^(3/2).
- Теорема Барроу: производная от ∫ₐˣ f(t)dt равна f(x).
- По частям: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
- Замена переменной: пределы пересчитываем по новой переменной.
Слова для взрослых
- первообразная
- функция, производная которой равна исходной
- пределы интегрирования
- числа a и b внизу и вверху знака ∫
Как посчитать интеграл от a до b, если есть F?
Вычесть F(a) из F(b).
Бывает, что площадь тянется в бесконечность. Тогда считаем предел: двигаем край всё дальше.
Сходится
- Предел конечный
- Площадь — обычное число
Расходится
- Предел бесконечный
- Или предела нет
∫ₐ^(+∞) f(x) dx = lim(A→+∞) ∫ₐᴬ f(x) dx
Считаем обычный интеграл до числа A. Потом смотрим, к чему он стремится, когда A растёт.
Запомни
- ∫₀^∞ dx/(1+x²) = π/2 — сходится.
- ∫₂^∞ dx/x — расходится, предел равен ∞.
- Если функция уходит в ∞ у края, отрезаем край: ε → 0.
- ∫₀¹ dx/√(1−x) = 2 — сходится, хотя у края ∞.
Слова для взрослых
- несобственный интеграл
- интеграл с бесконечным краем или с бесконечной функцией
- сходится
- предел существует и равен обычному числу
- расходится
- предела нет или он равен бесконечности
Когда несобственный интеграл сходится?
Когда предел существует и конечен.
Бесконечный разрыв внутри отрезка
Иногда функция «взрывается» не на краю, а посередине отрезка. Тогда режем интеграл в этой точке и подходим к ней с двух сторон по отдельности.
- Найди точку c, где функция уходит в бесконечность
- Раздели интеграл на две части: от a до c и от c до b
- Слева подходим с ε₁, справа с ε₂ — они стремятся к нулю независимо друг от друга
- Оба предела конечны — интеграл сходится, иначе расходится
∫ₐᵇ f dx = lim(ε₁→+0) ∫ₐ^(c−ε₁) f dx + lim(ε₂→+0) ∫_(c+ε₂)^b f dx
Два предела считаются отдельно. Если хотя бы одна часть расходится, расходится и весь интеграл.
Запомни
- Главное значение (V.p.): берём одинаковое ε с двух сторон, то есть подходим к точке c симметрично.
- V.p. ∫ₐᵇ f dx = lim(ε→+0) ( ∫ₐ^(c−ε) f dx + ∫_(c+ε)^b f dx ). Он может существовать, когда сам интеграл расходится.
- Пример: ∫₀³ x/(x²−4) dx расходится (слева −∞, справа +∞), но в смысле главного значения равен ln(√5/2).
Слова для взрослых
- бесконечный разрыв
- точка, где функция уходит в бесконечность
- главное значение
- предел при симметричном подходе к этой точке с двух сторон
Можно ли при проверке сходимости брать ε₁ = ε₂?
Нет, они независимы. Одинаковые ε дают только главное значение.