Лекция 10 · Часть II
Применение производных
Откроется 01.11Возрастание и экстремумы
Производная подсказывает, куда идёт график: вверх или вниз. Это как горка.
- Найди критические точки: f′ = 0 или f′ не существует
- Раздели область определения на промежутки этими точками
- Смотри знак f′ на каждом промежутке
- Знак + — функция растёт, знак − — убывает
f′(x) ≥ 0 на (a; b) ⇔ f возрастает на (a; b)
Читается: если производная не отрицательная, функция растёт. Для убывания нужен знак f′ ≤ 0.
Запомни
- Максимум: слева f′ > 0, справа f′ < 0. Вершина горки.
- Минимум: слева f′ < 0, справа f′ > 0. Дно ямки.
- Ферма: в гладкой точке экстремума f′ = 0. Обратное неверно: у x³ в нуле f′ = 0, но экстремума нет.
Слова для взрослых
- экстремум
- точка максимума или минимума функции
- критическая точка
- точка, где f′ = 0 или производной нет
- стационарная точка
- точка, где f′ = 0
Как называется точка, где f′ = 0?
Стационарная точка.
Вторая производная показывает, как график гнётся: как улыбка или как шапка.
f″ > 0
- выпукла вниз
- как улыбка
- график не ниже касательной
f″ < 0
- выпукла вверх
- как шапка
- график не выше касательной
f′(x₀) = 0 и f″(x₀) > 0 ⇒ x₀ — минимум; f″(x₀) < 0 ⇒ x₀ — максимум
Признак экстремума через вторую производную. Сначала находим точку, где f′ = 0.
Запомни
- Перегиб: точка, где f″ меняет знак. Изгиб переворачивается.
- Перегибы ищи там, где f″ = 0 или f″ не существует.
- Если f′ = f″ = … = f⁽ⁿ⁻¹⁾ = 0, а f⁽ⁿ⁾ ≠ 0: при чётном n экстремум, при нечётном — нет.
Слова для взрослых
- выпуклость вниз
- график лежит не ниже своей касательной
- точка перегиба
- точка, где изгиб графика меняется на противоположный
Какой знак у второй производной у «улыбки»?
Плюс: f″ > 0.
Асимптота — прямая, к которой график подходит всё ближе.
- Область определения, разрывы, чётность
- Монотонность и экстремумы по f′
- Выпуклость и перегибы по f″
- Асимптоты: вертикальные и наклонные
- Точки пересечения с осями
- Строим график
k = lim(x→∞) f(x)/x, b = lim(x→∞) (f(x) − k·x), y = k·x + b
Наклонная асимптота y = kx + b. Если k = 0, она горизонтальная: b = lim f(x).
Запомни
- Вертикальная асимптота x = x₀, если lim f(x) = ∞ при x → x₀.
- Пример: (x² + x)/(x − 2) = x + 3 + 6/(x − 2). Асимптоты: y = x + 3 и x = 2.
- Пример: x³/(x − 1)²: вертикальная x = 1, наклонная y = x + 2.
Слова для взрослых
- асимптота
- прямая, к которой график подходит очень близко
- наклонная асимптота
- прямая y = kx + b
Какая асимптота получается при k = 0?
Горизонтальная.
Наибольшее и наименьшее значение
Задача «самое большое» — например, самый большой прямоугольник. Ищем критические точки и концы отрезка.
- Найди критические точки внутри отрезка
- Вычисли f в этих точках
- Вычисли f на концах отрезка
- Самое большое значение — наибольшее, самое маленькое — наименьшее
max[a; b] f = max{ f(xкрит), f(a), f(b) }
Работает на замкнутом отрезке, где функция непрерывна. Берём все кандидаты и сравниваем.
Запомни
- Пример: в треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник. Площадь S(y) = (a/h)·(h − y)·y.
- S′ = 0 при y = h/2. Тогда основание x = a/2, а S = ah/4.
- Локальный максимум не всегда наибольший на отрезке: проверь концы.
Слова для взрослых
- наибольшее значение
- самое большое значение функции на отрезке
- локальный экстремум
- максимум или минимум в маленькой окрестности точки
Где ищем наибольшее значение функции на отрезке?
В критических точках и на концах отрезка.