Лекция 1 · Часть I
Матрицы и определители
Уже открытаМатрица — это таблица из чисел: ряды и колонки. Как коробка конфет, где каждая на своём месте.
A = (aᵢⱼ), размер m × n
aᵢⱼ — конфетка в строке i и столбце j. Строк m, столбцов n.
Запомни
- Квадратная: строк столько же, сколько столбцов.
- Единичная E: единицы на диагонали, остальное нули.
- Умножать можно, если столбцов первой равно строкам второй.
- Порядок важен: AB и BA обычно разные.
Слова для взрослых
- матрица
- таблица из чисел по строкам и столбцам
- главная диагональ
- клетки от левого верхнего угла к правому нижнему
- транспонирование
- строки становятся столбцами
Как называется таблица из чисел по строкам и столбцам?
Матрица.
Определитель — одно число, которое считаем из квадратной таблицы. Один итог за всю таблицу.
- Перемножь числа по главной диагонали ↘
- Перемножь числа по побочной диагонали ↙
- Из первого произведения вычти второе
для таблицы 2 × 2
det A = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁
Пример: |2 3; 5 7| = 2·7 − 3·5 = −1.
Запомни
- Таблица 3 × 3 считается по правилу треугольников (Саррюса).
- Треугольная матрица: произведение чисел на главной диагонали.
- Ряд из одних нулей — определитель равен нулю.
- det(AB) = det A · det B.
Слова для взрослых
- определитель
- число, которое считаем из квадратной таблицы
- минор
- меньший определитель, если вычеркнуть строку и столбец
- алгебраическое дополнение
- минор со знаком «плюс» или «минус»
Что надо вычесть при подсчёте определителя 2 × 2?
Произведение побочной диагонали.
Обратная матрица — как шаг назад после шага вперёд. Она возвращает всё на место.
если определитель не ноль
A⁻¹ = (1 / det A) · A∨
A∨ — присоединённая: из алгебраических дополнений, транспонированная. A · A⁻¹ = E.
Запомни
- Если det A = 0, обратной матрицы нет.
- Второй способ: приписать E справа и преобразовать строки.
- AX = B → X = A⁻¹·B. XA = B → X = B·A⁻¹.
- det(A⁻¹) = 1 / det A.
Слова для взрослых
- обратная матрица
- матрица, которая при умножении даёт единичную E
- единичная матрица E
- единицы на диагонали, остальное нули
- невырожденная
- определитель не равен нулю
Когда у матрицы есть обратная?
Когда определитель не равен нулю.
Ранг — сколько «главных» строк в таблице. Остальные строки получаются из них.
- Меняй строки местами или умножай на число
- Прибавляй к строке другую строку
- Считай ненулевые строки — это ранг
элементарные преобразования
r(A) — ранг: максимальный порядок ненулевого минора
Проще: сколько строк остаётся после упрощения.
Запомни
- Окаймляющие миноры: добавляй строку и столбец к ненулевому минору.
- Строки независимы, если ни одна не выражается через другие.
- Ранг не меняется при транспонировании и преобразованиях.
- Матрица из одних нулей: ранг равен нулю.
Слова для взрослых
- ранг
- максимальный порядок ненулевого минора
- базисный минор
- ненулевой минор порядка, равного рангу
- линейная зависимость
- одна строка выражается через остальные
Какой ранг у матрицы, где все элементы нули?
Ноль.