Линейное пространство — это набор «штук», которые можно складывать и умножать на число.
🔢
Числа
🧮
Таблицы одного размера
📏
Наборы из n чисел
вот примеры таких наборов
x + y = y + x; α(x + y) = αx + αy
Первое: порядок сложения не важен. Второе: число «раскрывает скобки».
Запомни
Сумма двух элементов тоже элемент пространства.
Элемент, умноженный на число, тоже в пространстве.
Подпространство — часть пространства, где тоже можно складывать и умножать.
Слова для взрослых
вектор
любой элемент линейного пространства, не обязательно стрелка
аксиомы
8 правил, которые должны выполняться
арифметическое пространство Rⁿ
наборы из n чисел, например (1; 2; −2)
Что нужно, чтобы набор был линейным пространством?
Сложение, умножение на число и 8 правил.
2
Линейная зависимость
Если из одних векторов можно собрать другой, набор лишний. Такой набор зависимый.
🧱
Векторы
🔁
Умножь на числа
➕
Сложи всё
🎯
Вышел ноль?
ноль при ненулевых числах — набор зависимый
λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λₙaₙ = 0
Если хотя бы одно λ не ноль, набор зависимый. Если все λ нули, независимый.
Запомни
Если один вектор — сумма остальных с числами, набор зависимый.
Нулевой вектор в наборе делает его зависимым.
Если часть набора зависима, весь набор тоже зависим.
Слова для взрослых
линейная комбинация
сумма векторов, каждый умножен на своё число
линейно независимые
ни один вектор не собирается из остальных
Когда набор векторов зависимый?
Когда сумма с числами даёт ноль, а числа не все нули.
3
Базис и координаты
Базис — это главные «кубики» пространства. Любой вектор собирается из них ровно одним способом.
Выбери n независимых векторов — это базис.
Разложи любой вектор по базису.
Числа перед кубиками — координаты вектора.
x = x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₙfₙ
Читается: «икс равно икс-один эф-один плюс…». Числа x₁…xₙ — координаты x.
Запомни
Базис в n-мерном пространстве — n независимых векторов.
Складываются векторы — складываются и их координаты.
Вектор MN: координаты конца N минус координаты начала M.
Слова для взрослых
базис
набор независимых векторов, из которых всё собирается
координаты
числа, сколько базисных векторов взять
размерность
число векторов в базисе
изоморфизм
соответствие, которое сохраняет сложение и умножение на число
Что такое координаты вектора?
Числа, на которые умножаем базисные векторы, чтобы получить вектор.
4
Переход к другому базису
Один и тот же вектор можно описать разными базисами. Есть правило, как пересчитать числа.
🧩
Новые числа η
🔁
Умножь на C
🧩
Старые числа ξ
обратно — через обратную матрицу C⁻¹
ξ = C·η; η = C⁻¹·ξ
Старые координаты получаем умножением на C. Обратно — на обратную матрицу C⁻¹.
Запомни
В столбцах C записаны новые базисные векторы в старом базисе.
Для ортонормированных базисов Q⁻¹ = Qᵀ: обратная матрица равна транспонированной.
Слова для взрослых
матрица перехода C
таблица, которая пересчитывает координаты из одного базиса в другой
ортонормированный базис
базис из перпендикулярных векторов длины 1
Как найти старые координаты по новым?
Умножить новые координаты на матрицу C.
5
Аффинное пространство
Аффинное пространство — это точки, между которыми можно проводить стрелки-векторы. Как карта: города — точки, а стрелка из одного города в другой — вектор.
Есть множество точек A и линейное пространство векторов
Каждой паре точек (M, N) соответствует вектор MN: от M к N
Для любой точки M и вектора x найдётся точка N, что MN = x
Правило треугольника: MN + NP = MP
что нужно, чтобы получилось аффинное пространство
MN + NP = MP
Пройти из M в N, потом из N в P — то же самое, что сразу из M в P.
Запомни
Следствия: вектор MM — нулевой, а NM = −MN.
Размерность n у аффинного пространства Aₙ та же, что у его линейного пространства.
Аффинная система координат: выбираем точку O (начало) и базис e₁…eₙ; координаты точки M — это координаты её радиус-вектора OM.
Координаты вектора MN — это координаты конца N минус координаты начала M, потому что MN = ON − OM.
Слова для взрослых
аффинное пространство
точки плюс векторы между ними с правилом треугольника
радиус-вектор
вектор OM из начала координат O в точку M
аффинная система координат
начало O и базис векторов
Как найти координаты вектора MN, если известны координаты точек M и N?
Из координат конца N вычесть координаты начала M.
Оригинал в курсе: LinearSpaces.pdf
Практики по теме: №4 — Векторные пространства; №5 — Аффинные пространства