Лекция 5 · Часть I
Линейные отображения
Уже открытаЛинейное отображение — умная машинка. Сложение и умножение на число проходят через неё без изменений.
Сначала сложи
- Сложи v₁ и v₂
- Отдай сумму машине
Сначала машина
- Отдай v₁ и v₂ машине
- Сложи два ответа
результат одинаковый
A(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁A(v₁) + λ₂A(v₂)
Одна формула заменяет два правила: сложение и умножение на число. Ноль переходит в ноль.
Запомни
- Инъективно: разным входам соответствуют разные выходы.
- Сюръективно: каждый элемент W получается из какого-то входа.
- Биективно: и инъективно, и сюръективно. Тогда отображение обратимо.
- Линейное отображение задаётся образами базисных векторов.
Слова для взрослых
- отображение
- правило: каждому элементу V ставится в соответствие один элемент W
- образ и прообраз
- образ — результат; прообраз — то, из чего он получился
Какие два условия делают отображение линейным?
Сумма переходит в сумму образов, число выносится за знак.
Ядро — всё, что превращается в ноль. Образ — всё, что получилось на выходе.
Ядро Ker A
- Векторы, которые стали нулём
Образ Im A
- Всё, что получилось на выходе
dim(Ker A) + dim(Im A) = dim V
Размер ядра плюс размер образа равен размеру исходного пространства.
Запомни
- Ядро и образ — тоже подпространства: «комнатки» внутри пространств.
- Инъективно тогда и только тогда, когда ядро состоит из одного нуля.
- Сюръективно, когда ранг равен dim W.
- Биективно и обратимо, когда матрица квадратная и невырожденная.
Слова для взрослых
- ядро Ker A
- все векторы, которые превращаются в ноль
- дефект и ранг
- дефект — размер ядра; ранг — размер образа, он равен рангу матрицы
Когда линейное отображение инъективно?
Когда ядро состоит только из нулевого вектора.
Матрица отображения записывает, во что превратился каждый базисный кубик.
- Выбери базис в V и базис в W.
- Найди образ первого базисного вектора.
- Разложи его по базису W — это первый столбец.
- Повтори для остальных базисных векторов.
w = A·v
Координаты образа w получаем умножением матрицы A на координаты прообраза v.
Запомни
- Тождественное отображение: матрица — единичная E.
- Поворот на угол φ: матрица с cos φ и sin φ.
- Нулевое отображение: матрица из одних нулей.
- Дифференцирование: x^k переходит в k·x^(k−1).
Слова для взрослых
- матрица линейного отображения
- таблица из координат образов базисных векторов
- координатный столбец
- столбик координат вектора в выбранном базисе
Что записываем в первый столбец матрицы?
Координаты образа первого базисного вектора.
Оператор — линейное отображение пространства в само себя. Его матрица меняется при смене базиса.
A_f = S⁻¹ · A_e · S
S — матрица перехода от базиса e к базису f. Такие матрицы называют подобными.
Запомни
- Поворот на угол φ: вектор крутится против часовой стрелки.
- Гомотетия с λ растягивает векторы в λ раз; при λ = −1 — центральная симметрия.
- Проекция на L₁ параллельно L₂: остаётся часть из L₁.
- Отражение от L₁ вдоль L₂: часть из L₂ меняет знак.
Слова для взрослых
- линейный оператор
- линейное отображение пространства в самого себя
- подобные матрицы
- матрицы одного и того же преобразования в разных базисах
Что делает гомотетия с λ = 2?
Растягивает каждый вектор в 2 раза.